당신은 주제를 찾고 있습니까 “jak rozwiązywać zadania ze statystyki – Statystyka: mediana, dominanta, wariancja, średnia ważona arytmetyczna, odchylenie standardowe,“? 다음 카테고리의 웹사이트 https://ppa.khunganhtreotuong.vn 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://ppa.khunganhtreotuong.vn/blog/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 Akademia Matematyki Piotra Ciupaka 이(가) 작성한 기사에는 조회수 500,523회 및 좋아요 5,756개 개의 좋아요가 있습니다.
Table of Contents
jak rozwiązywać zadania ze statystyki 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 Statystyka: mediana, dominanta, wariancja, średnia ważona arytmetyczna, odchylenie standardowe, – jak rozwiązywać zadania ze statystyki 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
http://akademia-matematyki.edu.pl/ Kurs zawiera informacje dotyczące: średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany, dominanty, wariancji i odchylenia standardowego.
jak rozwiązywać zadania ze statystyki 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
Różne zadania ze statystyki – Matemaks
Różne zadania ze statystyki · Jaki procent badanych osób było w kinie więcej niż jeden raz w ciągu ostatniego miesiąca? · Jaka jest mediana wyjść do kina? Wskaż …
Source: www.matemaks.pl
Date Published: 3/28/2022
View: 6841
Statystyka-zadania z rozwiązaniami | Statystyka nigdy nie była …
Wejdź i sprawdź zadania ze statystyki. … jest głównie dla studentów, którzy nie wiedzą jak rozwiązać zadania ze statystyki i rachunku prawdopodobieństwa.
Source: www.statystyka-zadania.pl
Date Published: 1/15/2022
View: 208
Zadania i rozwiązania zadań -Statystyka – Media Nauka
Lubię to! Nauka » Matematyka. Zadania z działu Statystyka. zadania ikona. Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach …
Source: www.medianauka.pl
Date Published: 7/1/2021
View: 8694
Rozwiązania niektórych zadań ze statystyki – Kolegia SGH
„STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ” oraz. EGZAMINÓW Z LAT 2012 – 2014. ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁAD. Zadanie 1/ str. 24.
Source: ssl-kolegia.sgh.waw.pl
Date Published: 12/2/2022
View: 5364
Statystyka – Zadania – MatmaNa6
Statystyka – Zadania. Zadania · Statystyka. Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki. Zdajesz matematykę …
Source: www.matmana6.pl
Date Published: 3/5/2021
View: 5544
Statystyka – zadania maturalne – Matura podstawowa
Można liczyć tak jak u Ciebie, ale teraz mając n=14 musisz poprawnie wyznaczyć iksa 🙂 Odpowiedz.
Source: szaloneliczby.pl
Date Published: 9/28/2021
View: 3474
50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów …
Odpowiedni przykład opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania. 22 22 Zadania. 23 23 ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na …
Source: docplayer.pl
Date Published: 12/18/2021
View: 6319
Statystyka – rozwiązywanie zadań – Wszechwiedza
Aby umieć rozwiązywać zadania ze statystyki, trzeba po prostu – entycznie jak w analizie matematycznej – zrobić tych zadań dużo. To, że statystyka jest …
Source: www.wszechwiedza.pl
Date Published: 11/8/2022
View: 5488
Jak rozwiązywać zadania w programie SPSS – StuDocu
STATYSTYKA KOLOKWIUM. Zanim przejdziesz do analizy… 1. Zrób przegląd danych. 2. Popraw dane , jeśli chcesz. a. Dodaj wartości , jeśli ich brakuje.
Source: www.studocu.com
Date Published: 4/11/2022
View: 7147
주제와 관련된 이미지 jak rozwiązywać zadania ze statystyki
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 Statystyka: mediana, dominanta, wariancja, średnia ważona arytmetyczna, odchylenie standardowe,. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
주제에 대한 기사 평가 jak rozwiązywać zadania ze statystyki
- Author: Akademia Matematyki Piotra Ciupaka
- Views: 조회수 500,523회
- Likes: 좋아요 5,756개
- Date Published: 2013. 4. 30.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=PncfB6sd80c
Różne zadania ze statystyki
Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: “Ile razy byłeś w kinie w ciągu ostatniego miesiąca?”. Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie poniżej. Rozwiązanie PDF (w powyższym pdf-ie jest błąd w pierwszej linijce podpunktu b) – moda wynosi 3, a nie 14).
X S – średniej liczby punktów w kategorii S (z wagą 2)
X W – średniej liczby punktów w kategorii W (z wagą 3)
X A – średniej liczby punktów w kategorii A (z wagą 3)
Właściciel tatrzańskiego pensjonatu Giewont przeprowadził wśród 20 losowo wybranych gości sondaż, badając zadowolenie wczasowiczów w trzech kategoriach: standard pokoju – S, wyżywienie – W, oraz atrakcyjność programu sportowego – A. Każda z badanych osób oceniała pensjonat w każdej z wymienionych kategorii, przyznając liczbę całkowitą punktów 1-10. Następnie właściciel obliczył średnią ważoną z następujących liczb:Pensjonat uzyskał ocenę końcową równą 7,04. Oblicz ile wynosiła średnia liczba punktów w kategorii A, jeśli ocena pensjonatu w dwóch pozostałych kategoriach przedstawiała się następująco:
Statystyka-zadania z rozwiązaniami
Statystyka-zadania to strona zawierająca materiały potrzebne do nauki statystyki opisowej, statystyki matematycznej oraz rachunku prawdopodobieństwa. Znajdziesz tutaj potrzebną teorię oraz zadania wraz ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Posiadam wieloletnie doświadczenie w udzielaniu korepetycji ze statystyki i rachunku prawdopodobieństwa dlatego masz pewność, że zadania i teoria są wytłumaczone szybko i prosto.
Zresztą wystarczy spojrzeć na komentarze pod różnymi wpisami 🙂
Dla kogo przeznaczone są zadania ze statystyki?
Strona przeznaczona jest głównie dla studentów, którzy nie wiedzą jak rozwiązać zadania ze statystyki i rachunku prawdopodobieństwa.
Jeżeli masz problem ze zrozumieniem takich pojęć jak mediana, dominanta, współczynnik korelacji, regresja, czy rozkład normalny to ta strona jest właśnie dla Ciebie.
Na stronie „statystyka zadania” znajdziesz dokładne opisy interesujących cię zagadnień, potrzebne wzory, wyjaśnienia oraz zadania z rozwiązaniami, czyli wszystko to co potrzebujesz do nauki statystyki. Zadania są przekrojowe co ułatwia znalezienie odpowiedniego przykładu. Strona jest również na bieżąco aktualizowana.
I to wszystko za cenę niższą niż jedna godzina korepetycji ze statystyki!
Szukasz innego rozwiązania?
Jeżeli wykupiłeś dostęp i nie znajdujesz interesującego Ciebie zadania napisz do mnie na email: [email protected]
Będę wdzięczny za wszystkie sugestie dot. strony jak i tematów których na niej brakuje.
Zadania i rozwiązania zadań -Statystyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę. b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.
Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu “Statystyka”. Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY
ZGODA
zadania maturalne
Krok 1. Uporządkowanie zestawu danych.
Aby móc przystąpić do obliczeń z medianą musimy na wstępie uporządkować wszystkie wyrazy ciągu w porządku niemalejącym. Uporządkujmy sobie na wstępie wszystkie wartości które znamy (czyli bez \(a\)):
$$2,3,5,10,12$$
W tej sytuacji mediana jest równa \(5\). My wiemy, że po dodaniu do tego zestawu liczby \(a\) mediana musi być równa \(7\). Musimy więc przeanalizować gdzie to nasze \(a\) może się znaleźć. Gdyby \(a\) było mniejsze od \(5\), to mediana byłaby mniejsza od \(5\). Gdyby \(a\) było większe od \(10\), to mediana byłaby równa \(\frac{5+10}{2}=7\frac{1}{2}\). Jedyną więc możliwością jest sytuacja, w której \(a\) znajdzie się między piątką i dziesiątką. Stąd też:
$$2,3,5,a,10,12$$
Krok 2. Obliczenie parametru \(a\) na podstawie mediany.
Mamy parzystą liczbę wyrazów naszego zestawu, więc medianę obliczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W ten oto sposób uda nam się wyznaczyć wartość \(a\):
$$mediana=\frac{5+a}{2} \\
7=\frac{5+a}{2} \\
14=5+a \\
a=9$$
Podpowiedź: Oczywiście nic nie stoi też na przeszkodzie, by podstawić pod \(a\) każdą z czterech odpowiedzi i tym samym sprawdzić kiedy mediana będzie równa \(7\).
50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami
Transkrypt
1 Jan Rusinek 50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi: Obecna data
2 2
3 3 Wstęp Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybrane z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzaminacyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wykonana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice. W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości średnie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to, aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo czasu) obliczenia. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu.
4 4 WZORY I OZNACZENIA µ wartość średnia σ odchylenie standardowe n liczba prób k liczba sukcesów w n próbach x = 1 n n i=1 x i średnia z próby s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2 wariancja z próby s = s 2 odchylenie standardowe z próby s n błąd standardowy u(p) p-ty kwantyl rozkładu normalnego N(0, 1) t(p, j) p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody χ 2 (p, j) p-ty kwantyl rozkładu χ 2 o j stopniach swobody F(p, i, j) p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody D nobl statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa d n(p) p-ty kwantyl statystyki D n Kołmogorowa k(p, i, j) wartość krytyczna rozkładu liczby serii Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b]. { 0 dla x < a, x a F (x) = dla a x b, b a 1 dla x > b.
5 5 A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Model A1. Rozkład normalny, znane σ. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) σ n. Model A2. Rozkład normalny, nieznane σ. P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. Model A3. Rozkład dowolny, nieznane σ, n 30. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) s n.
6 6 B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Model B1. Raczej duża próba (n 30). [ k P = n l; k ] ( ) k n + l, l = u 1 α n 2 ( ) 1 k n. n UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany wzór P = [ u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) l; u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) + l ], l = u u(1 α 2 )2 4 + k(n k) n n + u(1 α 2 )2.
7 7 C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Model C1. Rozkład normalny. [ ] n 1 n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1) ; s χ 2 ( α 2, n 1). Model C2. Rozkład normalny, duża próba (n 30). P = [ ] s 2(n 1) 2n 3 + u(1 α 2 ) ; s 2(n 1) 2n 3 u(1 α 2 ).
8 8 MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY Model M1. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny, znane σ. ( ( ) u 1 α 2 σ n l ) 2. Model M2. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny nieznane σ. gdzie n 0 liczność wstępnej próby, ( ( ) ) n t 1 α 2, n s 2 0 n , l n 0 n 0 x 0 = 1 n 0 i=1 x i, s 2 0 = 1 n 0 1 n 0 (x i x 0 ) 2. Model M3. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [ k n l; k n + l] dla frakcji elementów wyróżnionych. i=1 n u(1 α 2 )2 4l 2.
9 9 TESTY ZGODNOŚCI Test χ 2 (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Hipotezę odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, k 1), k liczba składników w sumie. Test Kołmogorowa Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy próbki w ciąg niemalejący: x 1,… x n. Statystyka testowa gdzie Hipotezę odrzucamy, jeśli D nobl = sup S n(x) F (x), x IR { 0 dla x < x1, i S n(x) = dla x n i x < x i+1, 1 dla x x n. D nobl > d n(1 α). Test serii Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α – poziom istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki ustawiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli K k(α, i, j).
10 10 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Hipoteza µ = µ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model D1. Rozkład normalny o znanym σ. g = u obl = x µ 0 n. σ W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D2. Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba. g = t obl = x µ 0 n. s W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D3. Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba. W jak w modelu D1. g = u obl = x µ 0 n. s
11 11 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI Hipoteza σ = σ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model E1. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n 50. Mając do dyspozycji komputer można ten model stosować i do dużych n. g = χ 2 obl (n 1)s2 = σ0 2. W = (0; χ 2 (α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ 0 ; W = [χ 2 (1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ > σ 0 ; W = (0; χ 2 ( α 2, n 1)] [χ2 (1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ σ 0; Model E2. – Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n 50). g = u obl = 2(n 1)s 2 σ 2 0 2n 3. W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0.
12 12 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Hipoteza p = p 0. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model F1. Próba powinna być raczej duża. g = u obl = k np 0. np 0 (1 p 0 ) W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p < p 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p > p 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p p 0.
13 13 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH POPULACJACH Model G1. Hipoteza σ 1 = σ 2. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 > σ 2, to g = F obl = s2 1 s 2. 2 W = [F (1 α, n 1 1, n 2 1); ). Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 < σ 2, to zamieniamy kolejność próbek. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 σ 2, to g = F obl = max(s2 1, s2 2 ) min(s 2 1, s2 2 ). W = [F(1 α 2, n l 1, n m 1); ), gdzie n l liczność probki o większej wariancji, a n m o mniejszej. 14 14 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH POPULACJACH Hipoteza µ 1 = µ 2, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model H1 rozkłady normalne znane σ 1 i σ 2. g = u obl = x 1 x 2. σ σ2 2 n 1 n 2 W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H2. rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ 1 i σ 2. g = t obl = x 1 x 2. (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n1+n 2 n 1 +n 2 2 n 1 n 2 W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H3. rozkłady normalne, nieznane σ 1 i σ 2, nieduża próbka. Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa) g = C obl = x 1 x 2. s s2 2 n 1 n 2 Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n 1, n 2 ) znajdujemy z wzoru c(p, n 1, n 2 ) s 2 1 t(p, n n 1 1) + s2 2 t(p, n 1 n 2 1) 2. s s2 2 n 1 n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; c(1 α, n 1, n 2 )] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [c(1 α, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; c(1 α 2, n 1, n 2 )] [c(1 α 2, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2 ; Model H4 rozkłady dowolne, nieznane σ 1 i σ 2 duża próba, n 1, n g = u obl = x 1 x 2. s s2 2 n 1 n 2
15 W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. 15
16 16 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH Model I1 raczej duża próbka (n 1, n 2 50) Stawiamy hipotezę p 1 = p 2. Stosujemy statystykę g = u obl = k 1 k 2 n 1 n 2 k 1 +k 2 ( ). n 1 n 1 k 1 +k 2 2 n 1 +n 2 Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę: u obl = ( 2 arc sin ) k 1 k 2 n1 n 2 2 arc sin. n 1 n 2 n 1 + n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p 1 < p 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 > p 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 p 2 ; gdzie n 1 i n 2 liczności pierwszej i drugiej próbki, k 1 i k 2 liczby sukcesów w pierwszej i drugiej próbce.
17 17 TEST χ 2 NIEZALEŻNOŚCI (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Test odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, (r 1)(s 1)), gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy. Współczynnik Cramera gdzie m = min(r, s) Współczynnik C Pearsona χ 2 obl V = n(m 1), χ 2 obl C = χ 2 obl + n. n liczba wszystkich danych w macierzy r s.
18 18 Jak używać programu calc? Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie. Zakładamy, że mamy dane empiryczne x 1 = 7, x 2 = 1, x 3 = 5, x 4 = 3, x 5 = 5 oraz liczbę µ 0 = 3. Mamy policzyć kolejno x = 1 n s 2 = 1 n 1 a następnie wstawić to do wzoru: n x k, k=1 n (x i x) 2, k=1 s = s 2, x µ 0 n. s Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach A1 A5. Daną µ 0 możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób (5) np. w komórce B2. Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzorze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany wzoru. Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór: =ŚREDNIA(A1:A5) Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2. Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej wzór
19 19 =WARIANCJA(A1:A5) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2. Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór =pierwiastek(c2) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależności od tego jaką dokładność wybierzemy). Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór (patrz rysunek) =(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3 Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i dużymi literami. Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik Program calc zamiast tablic statystycznych Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczonych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy
20 20 programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tablicach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić, aby otrzymać dane zgodne z tablicami. Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie N(0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s(a1) Ib) Kwantyle rozkładu normalnego Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N(0, 1) np. dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s.odw(b1) IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.t(a1;b1;1) Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru P (X < x) = P (X > x) = 1 P (X < x). IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1) IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ 2 21 21 Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie χ 2 z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.chi(a1;b1) Gęstość rozkładu χ 2 (t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dlatego wzór działa tylko dla x 0. IIIb) Kwantyle rozkładu χ 2 Aby wyznaczyć kwantyl χ 2 (p, n) rozkładu χ 2 dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.chi.odw(1-a1;a2) IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.f(a1;b1;c1) IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umieszczonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3) Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też dystrybuant innych rozkładów niż normalny. Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania. 22 22 Zadania 23 23 ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [ 1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3]. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3] jest równa 0 dla x < 1, x+1 F (x) = 4 dla 1 x 3, 1 dla x > 3. Zatem a) P (X < 0) = F (0) = 1 4., b) P (X > 2) = 1 P (X < 2) = 1 F (2) = = 1 4. c) Trzeba rozwiązać równanie P (X < c) = 0.95, czyli c+1 4 = Stąd c = 2.8. 24 24 ZADANIE 2. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie normalnym standardowym N(0, 1) i α = 0.02: a) P (X > 2.3), b) P (X < 1.2), c) u(α), d) u(1 α), e) u(1 α 2 ). a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) = ; b) c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = 2.05, d) u(0.98) = 2.05, e) u(0.99) = 2.33. 25 25 ZADANIE 3. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3), b) P (X < 1.4), c) t(1 α, n), d) t(1 α 2, n), a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) = ; b) Musimy skorzystać z faktu, że t( p, n) = 1 t(p, n). Otrzymamy wynik c) t(0.95, 9) = 1.83, d) t(0.975, 9) = 2.26. 26 26 ZADANIE 4. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie χ 2 z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b) P (X > 10), c) χ 2 (α, n), d) χ 2 (1 α, n) e) χ 2 (1 α 2, n). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a) wartość 0.542, a dla b) = Dla c) – e) można też skorzystać z tablic mamy: c) χ 2 (0.05, 20) = , d) χ 2 (0.95, 20) = 31.41, e) χ 2 (0.975, 20) =
27 27 ZADANIE 5. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3), b) P (X < 4), c) F(1 α, n, k), d) F(1 α 2, n, k). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) wartość , a dla b) wartość = c) F(0.95, 9, 4) = 6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98. 28 28 ZADANIE 6. Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki x 1 = 1.31, x 2 = 2.45, x 3 = 3.45, x 4 = 2.71: a) x, b) s 2, c) s, d) błąd standardowy. a) x = 1.125, b) s 2 = , c) s = 2.702, d) s n = 29 29 ZADANIE 7. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg? a) a = 4, b =. Stąd c = , d =. Zatem P (4 < X) = 1 Φ(c) = b) a =, b = 3, Stąd c =, d = = Zatem P (X > 3) = Φ( 2.31) = 1 Φ(2.31) = =
30 30 ZADANIE 8. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy? Mamy µ = 700, σ = 220, a =, b = 500. Stąd c =, d = = Zatem P (X < 500) = Φ( 0.91) = 1 Φ(0.91) = = 0.18. 31 31 ZADANIE 9. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hektara? Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b =. Stąd c = = 0.36, d =. Zatem Odp. 36%. P (50 < X) = 1 Φ(.36) = = 0.36. 32 32 ZADANIE 10. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym? W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) = = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy = P (X > a) = 1 Φ(c), gdzie c = a Stąd Φ(c) = W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = Stąd mamy równanie skąd a = = a 177, 13 Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.
33 33 ZADANIE 11. Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pakuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ = 2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymując rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności 1 α = a) Oszacowanie punktowe: Mamy x = 98.60, s = Zatem błąd standardowy jest równy s n = Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model A1, gdzie l = u(1 α 2 ) σ n. W naszym przypadku l = 1.24 i P = [97.36; 99.84].
34 34 ZADANIE 12. Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane. Tym razem stosujemy model A2, w którym P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku n = 10, 1 α 2 = 0.975, t(0.975) = Stąd l = 1.72, skąd P = [96.88; ].
35 35 ZADANIE 13. Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9 bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz współczynnik ufności 1 α = a) Oszacowanie punktowe: Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy Błąd standardowy jest równy x = 14.33, s = b) Oszacowanie przedziałowe: s 9 = 1.8. Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane i rozkład jest normalny, stosujemy model A2. l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = Stąd l = = Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49].
36 36 ZADANIE 14. Pewna duża firma komputerowa chce ustalić średnią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 miesięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 α = Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy α = 0.05, skąd 1 α 2 = Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = Stąd l = = Ostatecznie Znajdujemy P = [2723.5; ].
37 37 ZADANIE 15. Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowości zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowiedziało, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 rodziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i komputer stacjonarny i laptop. Stosujemy model B1, czyli wzór [ k P = n l; k ] n + l, gdzie l = u(1 α 2 ) k n(1 k n) n. Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = oraz l = Zatem P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%]. W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = oraz l = Zatem P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%]. W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = Stąd P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%]. W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz l = Zatem P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%].
38 38 ZADANIE 16. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i sprawdzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzymując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, , 4.95, Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 α = Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ 2 znajdujemy χ 2 (1 α 2, n 1) = χ2 (0.995, 8) = 21.96, χ 2 ( α 2, n 1) = χ2 (0.005, 8) = Natępnie mamy s = Stąd [ ] n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1); s n 1 χ 2 ( α 2, n 1) = [0.0396; ]. Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całkowicie przy użyciu pakietu calc Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2 liczbę Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce C1 Wpisujemy w komórce C2 Wpisujemy w komórce C3 Wpisujemy w komórce C4 Wpisujemy w komórce C5 =średnia(a1:a9) =pierwiastek(wariancja(a1:a9)) =rozkład.chi.odw(b1/2;8) =rozkład.chi.odw(1-b1/2;8) =c2*pierwiastek((b3-1)/c3)
39 39 To będzie lewy koniec przedziału. Wpisujemy w komórce D5 =c2*pierwiastek((b3-1)/c4) To będzie prawy koniec przedziału.
40 40 ZADANIE 17. W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym zakupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wyniki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy współczynniku ufności 1 α = Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 α 2 ) = Stąd [ ] 398 P = ; = [0.072; 0.083]
41 41 ZADANIE 18. Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na poziomie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x l; x + l] z l = 0.01 mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać? Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 α 2 ) = A więc ( ) n > = Trzeba wykonać 16 pomiarów.
42 42 ZADANIE 19. Pewien program sortujący dane został przetestowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33, 42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby otrzymać na poziomie ufności 1 α = 0.95 przedział ufności nie dłuższy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny. Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x 0 = 88.86, s 0 = 64.5, l = 80 2 = 40, n 0 = 7, t(0.975, 6) = Wstawiając to wszystko do wzoru M2 otrzymujemy n > ( ) = Trzeba jeszcze dodać 15 7 = 8 dodatkowych pomiarów.
43 43 ZADANIE 20. Pewien informatyk skonstruował program rozpoznający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na poziomie ufności 1 α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%? Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 α ) = 1.96, l = 2 = Zatem n = Trzeba wykonać 385 prób.
44 44 ZADANIE 21. Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności 1 α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%? Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 α 2 ) = l = n = Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów. 1 1 Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przybliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako u(0.95) dokładniejsza liczba i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751.
45 45 ZADANIE 22. Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki otrzymane w tabelce: liczba oczek liczba rzutów Zweryfikuj hipotezę, że kość jest uczciwa, przyjmując α = to 20 6 Zastosujemy test χ 2. Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek = W takim razie wartość statystyki testowej wynosi χ 2 obl = (0 3.33) (5 3.33) (3 3.33) (2 3.33) (3 3.33) (7 3.33) = 8.8. W tablicach kwantyli rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 5) = Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 < 46 46 ZADANIE 23. Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło pole czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że ruletka jest uczciwa przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = Ponownie zastosujemy test χ 2. Przy 100 losowaniach wartości spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole czarne. Zatem statystyka testowa wynosi χ 2 obl = (60 50) (29 25) (11 25)2 25 = W tablicach rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 2) = oraz χ 2 (0.995, 2) = Hipotezę odrzucamy w punkcie a), a punkcie b) nie. 47 47 ZADANIE 24. Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10 cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy (z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10]. Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale [0; 10] ma dystrybuantę 0 dla x < 0, x F (x) = 10 dla 0 x 10, 1 dla x > 10. Tworzymy tabelę x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 9 F (x i) ,1 0 0,1 2 0,2 0,1 0,2 0,1 0,0 3 0,3 0,2 0,3 0,1 0,0 4 0,4 0,3 0,4 0,1 0,0 5 0,5 0,4 0,5 0,1 0,0 6 0,6 0,5 0,6 0,1 0,0 7 0,7 0,6 0,7 0,1 0,0 7 0,7 0,7 0,8 0,0 0,1 8 0,8 0,8 0,9 0,0 0,1 8 0,8 0,9 1,0 0,1 0,2 max 0,1 0,2 Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znajdujemy d 10 (0.95) = Wartość statystyki testowej jest mniejsza. Hipotezy nie odrzucamy.
48 48 ZADANIE 25. Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3, 1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s) 2 i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70. stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N(1.52, 0.70). Stosujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę: x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 9 F (x i) 0.7 0,17 0 0,11 0,17 0, ,22 0,11 0,22 0,11 0, ,22 0,22 0,33 0,00 0, ,28 0,33 0,44 0,05 0, ,41 0,44 0,56 0,04 0, ,46 0,56 0,67 0,09 0, ,52 0,67 0,78 0,14 0, ,94 0,78 0,89 0,16 0, ,96 0,89 1,00 0,07 0,06 max 0,17 0,26 D nobl = Znajdujemy w tablicach d 9 (0.95) = Hipotezy nie odrzucamy. 2 W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane.
49 49 ZADANIE 26. Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6. Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s). Mamy x = 1, s = Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogorowa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N(1, 0.245). x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max D nobl jest równe Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezę odrzucamy.
50 50 ZADANIE 27. Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzucimy hipotezy, że rozkład jest typu N(µ, s). Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa da rezultat x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max D nobl = Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezy nie odrzucamy.
51 51 ZADANIE 28. Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zadania. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istotności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym wyborze a i b. Wybierzmy np. a = 6, b = 8. Wtedy 0 dla x < 6 x+6 F (x) = 14 dla x [ 6; 8] 1 dla x > 8. Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco: x i F (x i ) i 1 i i F (x i) i 6 F (x i) max Maksimum jest równe Natomiast d 6 (0.90) = Zatem hipotezy nie odrzucamy.
52 52 ZADANIE 29. Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123, 111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129, 137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić, że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę? Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg rosnący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y. Otrzymamy tabelkę: x y x(y) y(x) x y x(y) y(x) x y x x y y W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach, zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego jak ustawimy próbki o tej samej wartości. Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależnie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4. Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę.
53 53 ZADANIE 30. Producent wag twierdzi, że jego wagi działają z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostarczone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100 losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią kg. Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika zastrzeżenia? Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 przeciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy) u obl = Zbiorem krytycznym jest przedział 10 = 5. ( ; u(0.95)] = ( ; 1.64]. Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wyraźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia.
rozwiązywanie zadań
Statystyka
Jest działem matematyki. Przedmiotem jej jest badanie zjawisk masowych przy użyciu metod rachunku prawdopodobieństwa. Statystykę dzielimy na opisową oraz matematyczną.
Statystyka obowiązuje przede wszystkim na kierunkach ekonomicznych, ale również praktycznie na wszystkich kierunkach studiów technicznych. Sama statystyka generalnie wydaje się być łatwiejsza np. od analizy matematycznej, polega głownie na tym, iż w statystyce liczy się bardzo intuicja, wyczucie. Aby umieć rozwiązywać zadania ze statystyki, trzeba po prostu – identycznie jak w analizie matematycznej – zrobić tych zadań dużo. To, że statystyka jest troche nauką na wyczucie, potwierdza także fakt, iż niektóre wzory czy wartości są podawane są odmiennie przez różne źródła.
Uważamy, iż nasza wiedza i doświadczenie pozwalają nam czuś się na tyle pewnie w zagadnieniach statystycznych, by służyć Państwu pomocą.
Jak rozwiązywać zadania w programie SPSS
STATYSTYKA KOLOKWIUM
Zanim przejdziesz do analizy…
1. Zrób przegląd danych
2. Popraw dane , jeśli chcesz
a. Dodaj wartości , jeśli ich brakuje
b. Zmień skalę , jeśli uważasz, że jest źle określona
POLICZENIE STATYSTYK OPISOWYCH
Analiza → Opis statystyczny → Częstości → Wybierz zmienną, dla której chcesz policzyć statystyki opisowe → Statystyki… → Zaznacz statystyki, które chcesz policzyć (będą podane w zadaniu) → Jeśli chcesz wykonać jakiś wykres (słupkowy, kołowy lub histogram) wejdź w Wykresy… i zaznacz wykres, który Cię interesuje → Dalej → OK
Tabela Statystyk opisowych będzie wyglądała mniej więcej tak :
Interpretacja niektórych statystyk :
Skośność – jeśli wartość skośności jest ujemna rozkład wyników jest lewostronny, jeśli dodatnia – prawostronny
Odchylenie standardowe – pokazuje odchylenia od średniej wartości
Kurtoza : = 0 → rozkład normalny, rozkład mezokurtyczny
< 0 → rozkład bardziej płaski, rozkład platykurtyczny > 0 → rozkład leptokurtyczny
Modalna (dominanta) – wskazuje na to, jaka wartość dominuje wśród wszystkich danych
Rozstęp – różnica pomiędzy największą a najmniejszą wartością
Statystyki opisowe, których nie da się policzyć dla skali nominalnej : średnia, mediana, rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe, skośność, kurtoza
FILTROWANIE – WYBIERZ OBSERWACJE
! PAMIĘTAJ O WYŁĄCZENIU WSZYSTKICH ZASTOSOWANYCH FILTRÓW, ABY NIE ZAKŁÓCAŁY CI DALSZEJ ANALIZY!
Dane → Wybierz obserwacje → Jeśli spełniony jest warunek → Jeżeli → Wybierz zmienną, jaką chcesz przeanalizować → Po znaku = wpisz wartość grupy, którą chcesz analizować (np. płeć=1 lub wiek~=24 – różny od, czyli każdy wiek poza 24) → Dalej → OK TERAZ JEST CZAS NA PRZEPROWADZENIE ANALIZY, KTÓRĄ CHCIAŁAŚ PRZEPROWADZIĆ DLA WYBRANYCH DANYCH PO ZAKOŃCZONEJ ANALIZIE ZRESETUJ WSZYSTKIE FILTRY Dane → Wybierz obserwacje → Resetuj → OK TWOJE FILTRY ZOSTAŁY WYŁĄCZONE. TERAZ BĘDZIESZ ANALIZOWAŁA WSZYSTKIE DANE, JAKIE MASZ W BAZIE DANYCH
W takim oknie powinnaś pracować →
FILTROWANIE – PODZIAŁ NA PODZBIORY
Wykonaj, gdy w zadaniu będzie zawarte polecenie o policzeniu danej zmiennej oddzielnie dla jednej grupy i oddzielnie dla drugiej, w ramach jednej zmiennej. Przykładowe polecenie: Badacze chcieli sprawdzić czy satysfakcja zawodowa oddzielnie dla kobiet i mężczyzn w grupie osób, które wzięły udział w badaniu istotnie różni się od średniego poziomu satysfakcji zawodowej kobiet i mężczyzn w Polsce. Z danych teoretycznych wiemy, że średni poziom satysfakcji zawodowej zarówno dla kobiet jak i mężczyzn wynosi 3.
Dane → Podział na podzbiory → Porównaj grupy → Wybierz zmienną wg której podzielisz grupę badanych → OK
W prawym dolnym rogu bazy pojawi Ci się informacja, że Twoje dane są podzielone według danej zmiennej. Np. →
Zmienna, wg której dzielisz grupę badanych nazywa się zmienną grupującą.
KATEGORYZACJA WIZUALNA
Ta funkcja pozwala stworzyć ze zmiennej ilościowej/ ilorazowej, zmienną przedziałową , np. zmienną wiek wyrażoną w latach możemy podzielić na 3 równoważne grupy (osoby młode vs osoby w średnim wieku vs osoby starsze).
Przekształcenia → Kategoryzacja wizualna → Wybierz zmienną do kategoryzacji → Dalej → Nadaj nazwę zmiennej skategoryzowanej → Punkty podziału → Równe percentyle → określ liczbę punktów podziału – dla powyższego przykładu wynosi ona 2, ponieważ chcemy otrzymać 3 grupy. Jeśli chciałabyś podzielić grupę tylko na osoby starsze i młodsze, liczba punktów podziału wynosi 1, czyli 50%, ponieważ otrzymujesz tylko 2 grupy. → Zastosuj → Utwórz etykiety → OK
TABELE KRZYŻOWE, CZYLI TEST Chi 2 DLA DWÓCH ZMIENNYCH
Tabele krzyżowe – 2 zmienne jakościowe w tabeli. Pozwalają sprawdzić czy występuje istotna różnica lub ile osób tak uważa (w poleceniu może to być ujęte w następujący sposób: podaj % albo podaj ilość osób ). Wykonujemy tylko na danych jakościowych (skala porządkowa lub nominalna ).
Analiza → Opis statystyczny → Tabele krzyżowe → Dodaj zmienne kolejno: jedną w wierszach i jedną w kolumnach → Statystyki → Zaznacz Chi-kwadrat → Dalej → OK
JEŚLI CHCESZ OTRZYMAĆ RÓWNIEŻ DANE PROCENTOWE (%) POSTĘPUJ TAK:
Analiza → Opis statystyczny → Tabele krzyżowe → Wybierz dane → Statystyki → Zaznacz Chi-kwadrat → Komórki → Procenty (w wierszu, kolumnie, całości) → Dalej → OK
Takie otrzymasz tabele w raporcie:
TEST NORMALNOŚCI ROZKŁADU – TEST SHAPIRO-WILKA
! ZAWSZE PAMIĘTAJ O WYKONANIU TESTU NORMALNOŚCI ROZKŁADU, ZANIM PRZEJDZIESZ DO LICZENIA KORELACJI**!** Analiza → Opis statystyczny → Eksploracja → Wybierz zmienną lub zmienne, dla których chcesz sprawdzić normalność rozkładu → Wykresy → Zaznacz Wykresy normalności z testami → Dalej → OK
Przykładowa tabela Testu normalności rozkładu →
INTERPRETACJA WYNIKÓW! Zmienna ma rozkład NORMALNY tylko wtedy, gdy ma rozkład NIEISTOTNY. Niżej przykłady:
p=0 – brak istotnej różnicy (brak dużej istotności) → rozkład normalny
p=0 – brak istotnej różnicy (brak dużej istotności) → rozkład normalny
p=0 – duża istotność → brak rozkładu normalnego
p>0 – brak istotnej różnicy (brak dużej istotności) → rozkład normalny
p<0 – duża istotność → brak rozkładu normalnego Jeśli zmienna ma rozkład NORMALNY → analiza PARAMETRYCZNA, czyli test korelacji PEARSONA Jeśli zmienna nie posiada rozkładu normalnego → analiza NIEPARAMETRYCZNA, czyli test korelacji rho-SPEARMANA i/lub KENDALLA Gdy analizujesz więcej niż 1 zmienną, jeśli którakolwiek z nich nie ma rozkładu normalnego, nawet dla tej z rozkładem normalnym wykonujesz analizę nieparametryczną! – czy na pewno? Prawidłowa interpretacja wyniku normalności rozkładu : Analiza wykazała, że rozkład naszych wyników nie różni się istotnie od rozkładu normalnego, a więc nasz rozkład jest normalny. (p > 0)
Im mniejsza wartość p, tym większa istotność !!! p > 0 → wynik nieistotny → rozkład normalny p < 0 → wynik istotny → brak rozkładu normalnego p < 0 → wynik istotny → brak rozkładu normalnego TESTY KORELACJI TEST KORELACJI PEARSONA Jeśli zmienna ma rozkład NORMALNY → analiza PARAMETRYCZNA, czyli test korelacji PEARSONA TEST KORELACJI RHO-SPEARMANA I KENDALLA Jeśli zmienna nie posiada rozkładu normalnego → analiza NIEPARAMETRYCZNA, czyli test korelacji rho-SPEARMANA i/lub KENDALLA TEST KORELACJI PEARSONA – NORMALNOŚĆ ROZKŁADU Nie zapomnij sprawdzić normalności rozkładu! Analiza → Korelacje → Parami → Wybierz zmienną → Zaznacz współczynnik korelacji Pearsona → OK → Prawidłowa interpretacja : TESTY PORÓWNUJĄCE ŚREDNIE TESTY T-STUDENTA Testy t-studenta wykonujemy tylko dla zmiennych ILOŚCIOWYCH, PARAMETRYCZNYCH !!! Zanim wykonasz test t-studenta sprawdź normalność rozkładu i równoliczność grup !!! Wykorzystujemy do testowania istotności różnicy między dwiema średnimi: wynik próby ze znanym kryterium teoretycznym ( test t-Studenta dla jednej próby ) ) dwie grupy badawcze ( test t-Studenta dla prób niezależnych ) ) dwa pomiary w ramach jednej grupy badawczej ( test t-Studenta dla prób zależnych ) TEST U-MANNA-WHITNEYA nieparametryczny odpowiednik testu t dla prób niezależnych TEST WILCOXONA nieparametryczny odpowiednik testu t dla prób zależnych Wykonujemy tylko dla zmiennych w skali PORZĄDKOWEJ, NIEPARAMETRYCZNYCH !!! TEST T DLA JEDNEJ PRÓBY – rozkład normalny Nie zapomnij sprawdzić normalności rozkładu i równoliczności grup! Jeśli w poleceniu masz podaną wartość teoretyczną , wykonaj test t dla jednej próby. Przykładowe polecenie: Badacze chcieli sprawdzić czy satysfakcja zawodowa oddzielnie dla kobiet i mężczyzn w grupie osób, które wzięły udział w badaniu istotnie różni się od średniego poziomu satysfakcji zawodowej kobiet i mężczyzn w Polsce. Z danych teoretycznych wiemy, że średni poziom satysfakcji zawodowej zarówno dla kobiet jak i mężczyzn wynosi 3. Analiza → Średnie → Test t dla jednej próby → Wybierz testowaną zmienną → Wpisz wartość testowaną (jest to wartość podana w zadaniu) → OK → Prawidłowa interpretacja : Analiza wykazała, że poziom satysfakcji zawodowej mężczyzn nie różni się istotnie od poziomu teoretycznego t( 69 )= 0,92; p=0,36. Analiza wykazała jednak, że występują istotne różnice w poziomie satysfakcji zawodowej kobiet biorących udział w badaniu w porównaniu do średnie w populacji kobiet w Polsce t( 69 )= 2,76; p<001. Kobiety biorące udział w badaniu mają istotnie wyższy poziom satysfakcji zawodowej (M= 3,10; SD= 0,30) niż średnia w populacji (M=3,00). TEST WILCOXONA – brak normalności rozkładu Nie zapomnij sprawdzić normalności rozkładu i równoliczności grup**!** To nieparametryczny odpowiednik testu t dla prób zależnych. Tzn, że w poleceniu będzie nakazana analiza zmiennej_przed i zmiennej_po). Wykonuj tylko dla zmiennych w skali porządkowej! Analiza → Testy nieparametryczne → Testy tradycyjne → Dwie próby zależne → Wybierz parę testowanych zmiennych (np. objawy_przed, objawy_po) → Zaznacz typ testu Wilcoxon → Opcje → Zaznacz statystyki opisowe → Dalej → OK → Prawidłowa interpretacja : Deklarowana częstotliwość występowania objawów nadciśnienia po 6 miesiącach leczenia nowym lekiem była niższa (Mrang1 = 14,42) niż przed rozpoczęciem terapii (Mrang2 = 8,50). Suma rang ujemnych (274) jest znacznie niższa niż suma rang dodatnich (51). Analiza testem znaków rangowych Wilcoxona wykazała, że różnica ta jest istotna statystycznie, Z = 3,10; p < 0,01. TEST T DLA GRUP NIEZALEŻNYCH – rozkład normalny Nie zapomnij sprawdzić normalności rozkładu i równoliczności grup**!** Badasz dwie oddzielne, niezależne grupy (przykład polecenia: ..ępnie przeprowadź analizę porównawczą satysfakcji z życia osobistego osób badanych w zależności od nastroju w jakim się znajdują.) Zmienna nastrój_med dzieli badanych na dwie grupy osób - osoby z pozytywną i negatywną satysfakcją osobistą. Mamy więc dwie grupy niezależne. Analiza → Średnie → Test t dla prób niezależnych → Wybierz zmienną testowaną → Wybierz zmienną grupującą (która podzieli badanych na 2 grupy, np. nastrój pozytywny i nastrój negatywny) → OK Ważne! Sprawdź, czy masz dobrze zdefiniowane grupy ( Definiuj grupy ). Wartości powinny być takie same, jakie zakodowaliśmy w bazie danych. Przykład: jeśli dla zmiennej płeć zakodowałaś: 1-kobiety, 2-mężczyźni, nie możesz zdefiniować tych grup dla innych wartości, np. 0-kobiety, 1-mężczyźni. Musisz wpisać wartości odpowiednio 1 i 2. Wartość t może być dodatni bądź ujemny, lecz w interpretacji podane się go bez - !! Jeśli jednorodność jest nieistotna (np. p=0, p>0) – dane odczytujemy z górnego wiersza, jak jest istotna (np. p<0) – czytamy z dolnego wiersza. Prawidłowa interpretacja : Analiza testem t-Studenta dla prób niezależnych wykazała, że wysokość pulsu różniła się istotnie u kobiet i mężczyzn przed rozpoczęciem przyjmowania leków: t(61)= 8,29; p<0,001. Przed rozpoczęciem leczenia mężczyźni mieli istotnie wyższy puls (M=90,57; SD=2,89) niż kobiety (M= 84,91; SD= 2,53).
키워드에 대한 정보 jak rozwiązywać zadania ze statystyki
다음은 Bing에서 jak rozwiązywać zadania ze statystyki 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 Statystyka: mediana, dominanta, wariancja, średnia ważona arytmetyczna, odchylenie standardowe,
- jak policzyć średnią ważoną
- odchylenie standardowe
- dominanta
- jak policzyć wariancję
- mediana
- jak policzyć medianę
- jak policzyć dominantę
- średnia arytmetyczna
- wariancja
- średnia ważona
- Akademia Matematyki Piotra Ciupaka
- jak obliczyć dominantę
- wariancja i odchylenie standardowe
- odchylenie standardowe jak obliczyć
- jak obliczyć wariancję
- średnia arytmetyczna zestawu danych 2 4 7 8 9
- jak obliczyć medianę
- odchylenie standardowe i wariancja
Statystyka: #mediana, #dominanta, #wariancja, #średnia #ważona #arytmetyczna, #odchylenie #standardowe,
YouTube에서 jak rozwiązywać zadania ze statystyki 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 Statystyka: mediana, dominanta, wariancja, średnia ważona arytmetyczna, odchylenie standardowe, | jak rozwiązywać zadania ze statystyki, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.
