Funkcje Trygonometryczne W Trójkącie Prostokątnym | Podstawy Trygonometrii – Funkcje Trygonometryczne W Trójkącie Prostokątnym 94 개의 정답

당신은 주제를 찾고 있습니까 “funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – Podstawy trygonometrii – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym“? 다음 카테고리의 웹사이트 ppa.khunganhtreotuong.vn 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://ppa.khunganhtreotuong.vn/blog/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 KhanAcademyPoPolsku 이(가) 작성한 기사에는 조회수 157,468회 및 좋아요 2,171개 개의 좋아요가 있습니다.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego są zdefiniowane za pomocą stosunków długości boków trójkąta prostokątnego. Są to funkcje: sinus, cosinus i tangens. α: przyprostokątnej przeciwległej i przyprostokątnej przyległej, oraz długości przeciwprostokątnej.Funkcje trygonometryczne przydają się na przykład podczas obliczania długości wyciągów narciarskich, podjazdów dla niepełnosprawnych albo kąta nachylenia drogi budowanej na zboczu.Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 주제에 대한 동영상 보기

여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!

d여기에서 Podstawy trygonometrii – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 주제에 대한 세부정보를 참조하세요

Basic trigonometry – http://tinyurl.com/bz55eka
Poćwicz definicje funkcji trygonometrycznych: http://tinyurl.com/jnr2ezs !
Film na licencji CC NC-BY-SA wykonany na zlecenie Centrum Fizyki Teoretycznej PAN.
Opowiada dr Szymon Charzyński z Wydziału Matematyczno – Przyrodniczego UKSW.

funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – MatmaNa6

Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. ( sin, cos, tan, cot) Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o miarach: 0,30,45 …

+ 더 읽기

Source: www.matmana6.pl

Date Published: 1/19/2022

View: 2271

Funkcje trygonometryczne (w trójkącie prostokątnym) – sinus …

Funkcje trygonometryczne (w trójkącie prostokątnym) – sinus, cosinus, tangens · Sinus Sinus jest funkcją, która bada stosunek długości przyprostokątnej leżącej …

+ 여기에 더 보기

Source: szaloneliczby.pl

Date Published: 6/22/2022

View: 5450

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadania

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadania … Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy związki między długościami poszczególnych boków trójkąta …

+ 여기에 보기

Source: eszkola.pl

Date Published: 6/6/2021

View: 8211

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Rozwiązanie: Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. Korzystając z oznaczeń umieszczonych na rysunku i z definicji funkcji trygonometrycznych …

+ 자세한 내용은 여기를 클릭하십시오

Source: opracowania.pl

Date Published: 10/22/2021

View: 2111

Zależności trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

funkcje trygonometryczne. Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się m.in. sinus, cosinus i tangens. Czy wiesz, skąd pochodzą nazwy tych funkcji?

+ 여기에 표시

Source: zpe.gov.pl

Date Published: 3/4/2022

View: 4041

Trójkąt prostokątny – funkcje trygonometryczne

Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego …

+ 더 읽기

Source: el.us.edu.pl

Date Published: 4/10/2022

View: 8403

주제와 관련된 이미지 funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 Podstawy trygonometrii – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.

---

주제에 대한 기사 평가 funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

• Author: KhanAcademyPoPolsku
• Views: 조회수 157,468회
• Likes: 좋아요 2,171개
• Date Published: 2013. 10. 21.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=c2UlPn2WM5c

Do czego potrzebne są funkcje trygonometryczne?

Funkcje trygonometryczne przydają się na przykład podczas obliczania długości wyciągów narciarskich, podjazdów dla niepełnosprawnych albo kąta nachylenia drogi budowanej na zboczu.

Jakie są funkcje trygonometryczne?

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Jak obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych?

Jak obliczyć trójkącie trygonometria?

Jednym z zastosowań funkcji trygonometrycznych jest ich wykorzystanie do obliczania pola trójkąta, gdy dana jest miara jednego z kątów oraz długości boków przy tym kącie. Innymi słowy zatem, pole trójkąta jest połową iloczynu długości dwóch boków tego trójkąta, oraz sinusa kąta pomiędzy tymi bokami.

W której klasie są Funkcje trygonometryczne?

Trygonometria 1 klasa liceum

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

Kto wymyślił Funkcje trygonometryczne?

Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180–125 p.n.e.). Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów.

Kiedy funkcje trygonometryczne są dodatnie?

Znak funkcji trygonometrycznych

znak funkcji tangens i cotangens jest dodatni, gdy rzędna i odcięta są tego samego znaku.

Jaki okres ma funkcja tg?

1. Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym . 2. Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

Co to jest tg alfa?

kąta ostrego (w skrócie α ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie .

Ile to jest sin 45 stopni?

Ile wynosi sinus 180 stopni?

Jak obliczyć sinus 135 stopni?

sin 135 stopni = 3/4A.

Jak obliczyć boki w trójkącie prostokątnym trygonometria?

Długość najkrótszego boku trójkąta prostokątnego jest dwukrotnie krótsza od długości przeciwprostokątnej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jednej z przyprostokątnych jest równy różnicy kwadratów długości przeciwprostokątnej i drugiej z przyprostokątnych.

Czy funkcje trygonometryczne mogą być ujemne?

Jak widać na powyższych przykładach funkcje trygonometryczne mogą przyjmować również wartości ujemne. W zależności od ćwiartki układu współrzędnych można przypisać każdej funkcji trygonometrycznej konkretny znak.

Jak obliczyć wysokość w trójkącie prostokątnym?

Wysokość w trójkącie równoramiennym prostokątnym to każda z przyprostokątnych oraz odcinek o długości połowy przeciwprostokątnej, czyli h=½a√2.

Jak łatwo zapamiętać funkcje trygonometryczne?

Pewnie znany jest dla wielu wierszyk, który pozwala na zapamiętanie, w której ćwiartce, która funkcja trygonometryczna jest jakiego znaku. Na wszelki wypadek przytoczę: “w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus”.

Jakie wartości przyjmuje coś?

Rozpatrujemy tutaj funkcję cosinus jako funkcję zmiennej rzeczywistej. Maksymalna wartość funkcji cosinus to 1, minimalna to -1.

Ile to jest sin 30 stopni?

Do czego potrzebny jest sinus?

Funkcja sinusoidalna tworzy “falę” – podobną falę do takiej, którą wydaje struna w gitarze, woda do której wrzucono kamyk, a także prąd w gniazdku wygląda jak sinus (tylko potrzeba specjalnego sprzętu by to zobaczyć). Funkcja ta przyjmuje różne wartości w zakresie od -1 do 1.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Pojawiające się we wzorach w tabeli zapisy słowne odpowiadają długościom dwóch boków trójkąta, których położenie jest określone względem kąta ostrego\textcolor{#005FD4}{\alpha }\textcolor{#005FD4}{\textrm{:}} α: przyprostokątnej przeciwległej i przyprostokątnej przyległej, oraz długości przeciwprostokątnej.

Funkcje trygonometryczne (w trójkącie prostokątnym)

Czym są funkcje trygonometryczne, po co one istnieją i jak je wyliczać na poszczególnych przykładach? Funkcje trygonometryczne z których korzystamy w trygonometrii na poziomie szkolnym to sinus (\(sin\)), cosinus (\(cos\)) oraz tangens (\(tg\)). Choć każda z tych funkcji jest nieco inna, to łączy je wspólny cel – każda z tych funkcji pokazuje nam jaki jest stosunek długości boków trójkąta prostokątnego względem jego miar kątów wewnętrznych.

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Zanim powiemy sobie o tych funkcjach, to dobrze jest zrozumieć ich ideę. Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny i chcemy policzyć jego obwód. W początkowych klasach szkoły podstawowej aby tego dokonać to musieliśmy mieć podane wszystkie trzy długości boków. Z czasem kiedy poznaliśmy Twierdzenie Pitagorasa to się okazało, że wystarczy nam znajomość dwóch boków takiego trójkąta, bo trzeci jesteśmy w stanie sobie samodzielnie wyliczyć. Funkcje trygonometryczne pozwolą nam poznać wszystkie boki trójkąta mając dane np. tylko jeden bok oraz miarę jednego z kątów. Jakby tego było mało, to teraz będziemy w stanie podawać różne miary kątów w naszych trójkątach, znając jedynie poszczególne długości boków – to jest coś, czego do tej pory robić nie potrafiliśmy.

Można więc powiedzieć, że funkcje trygonometryczne wiążą nam ze sobą informacje na temat długości boków oraz miar kątów. Sprawdźmy zatem jak wyglądają interesujące nas funkcje i jak z nich korzystać:

Sinus

Sinus jest funkcją, która bada stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz długości przeciwprostokątnej. Możemy zapisać, że:

$$sinα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}}$$ Sinus jest funkcją, która bada stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz długości przeciwprostokątnej. Możemy zapisać, że:$$sinα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}}$$ Zobaczmy jak to będzie wyglądać na przykładzie jakiegoś trójkąta:

Stosując oznaczenia z rysunku możemy zapisać, że w tym konkretnym przypadku przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(α\) jest bok \(a\), natomiast przeciwprostokątną jest bok \(c\). W związku z tym:

$$sinα=\frac{a}{c}$$ Od razu musimy sobie zaznaczyć, że nie jest dobrym pomysłem zapamiętanie regułki bazującej na oznaczeniach, czyli że \(sinα=\frac{a}{c}\), bo nasz trójkąt może mieć dowolne oznaczenia, może być dowolnie obrócony, a i nawet może być tak, że to ten drugi kąt ostry będzie oznaczony jako \(α\). Dużo lepszym sposobem jest zapamiętanie, że sinus to stosunek długości przeciwprostokątnej naprzeciw zaznaczonego kąta oraz długości przeciwprostokątnej. Aby zrozumieć dlaczego to jest tak istotne, to spójrzmy na poniższy przykład: To jest dokładnie ten sam trójkąt co w pierwszym przykładzie, ale tym razem kątem \(α\) jest zupełnie inny kąt ostry. Gdybyśmy teraz zapisali, że sinus jest równy stosunkowi boku \(a\) oraz \(c\) to popełnilibyśmy błąd! Zasada cały czas jest ta sama – patrzymy jaki bok leży naprzeciwko kąta \(α\) i jaka jest przeciwprostokątna. Zatem w tej sytuacji:

$$sinα=\frac{b}{c}$$ Bardzo ważne jest aby zrozumieć różnice między pierwszym i drugim przykładem. Zły wybór długości boków to jest źródło najczęściej popełnianych błędów.

Cosinus

Cosinus jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa oraz długości przeciwprostokątnej.

$$cosα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}}$$ Cosinus jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa oraz długości przeciwprostokątnej.$$cosα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}}$$ Spróbujmy teraz zapisać czym jest cosinus w poniższym trójkącie:

W tym trójkącie przyprostokątną przy kącie \(α\) jest bok \(b\), a przeciwprostokątną jest bok \(c\), zatem:

$$cosα=\frac{b}{c}$$ Teraz spójrzmy na taką sytuację:

Analogicznie jak to było przy sinusie, tak i tutaj mamy najlepszy dowód na to, że nie warto uczyć się symboli jako takich, tylko trzeba znać poprawne zależności. Tym razem kąt \(α\) znalazł się w innym miejscu, przez co przyprostokątną przy kącie \(α\) jest tym razem bok \(a\). To oznacza, że w tym drugim przypadku:

$$cosα=\frac{a}{c}$$

Tangens

Tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\).

$$tgα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}}$$ Tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\).$$tgα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}}$$ Spójrzmy na poniższy rysunek:

Przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(α\) jest bok o długości \(a\), natomiast przyprostokątną przy kącie \(α\) jest bok \(b\), czyli w tym trójkącie:

$$tgα=\frac{a}{b}$$ Spróbujmy teraz określić wartość tangensa dla poniższego trójkąta:

I tu podobnie jak to miało miejsce przy sinusie i cosinusie musimy zwracać uwagę na położenie tego kąta \(α\). W tym przypadku:

$$tgα=\frac{b}{a}$$ Z tangensem związana jest jego inna własność, która jest bardzo często wykorzystywana w zadaniach z trygonometrii. Okazuje się, że:

$$tgα=\frac{sinα}{cosα}$$ Warto o tym pamiętać, bo ta wiedza przydaje się np. w zadaniach na dowodzenie.

Zatem podsumowując:

$$sinα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}} \\

cosα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}}{\text{dł. przeciwprostokątnej}} \\

tgα=\frac{\text{dł. przyprostokątnej naprzeciw kąta α}}{\text{dł. przyprostokątnej przy kącie α}} \\

tgα=\frac{sinα}{cosα}$$

W takim razie skoro mamy omówione funkcje trygonometryczne to zróbmy sobie teraz przykłady na jakichś liczbach i przy okazji zobaczymy co nam z takich funkcji trygonometrycznych może wyjść.

Przykład 1. Oblicz wartość \(sinα, cosα\) oraz \(tgα\).

Oblicz wartość \(sinα, cosα\) oraz \(tgα\). Na początek musimy obliczyć sinus kąta \(α\), czyli stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz długości przeciwprostokątnej. Interesują nas więc tylko boki o długości \(3\) oraz \(5\). W związku z tym możemy zapisać, że:

$$sinα=\frac{3}{5}$$ Teraz obliczmy dla tego samego trójkąta wartość cosinusa kąta \(α\). Tym razem interesuje nas stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) oraz przeciwprostokątnej. To oznacza, że:

$$cosα=\frac{4}{5}$$ Na koniec został nam do policzenia tangens. Zgodnie z naszą wiedzą, tangens jest stosunkiem długości przeciwprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) oraz przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, zatem:

$$tgα=\frac{3}{4}$$ Przy okazji możemy sprawdzić jak działa ten drugi wzór na tangensa, czyli \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Obliczyliśmy powyżej, że \(sinα=\frac{3}{5}\) oraz \(cosα=\frac{4}{5}\), a to oznacza, że tangens będzie równy:

$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\

tgα=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \\

tgα=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} \\

tgα=\frac{3}{4}$$

Przykład 2. Oblicz wartość \(sinβ, cosβ\) oraz \(tgβ\).

Oblicz wartość \(sinβ, cosβ\) oraz \(tgβ\). Mamy dokładnie ten sam trójkąt co powyżej, ale tym razem odnosimy się do drugiego kąta ostrego. Zacznijmy od sinusa. Przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(β\) jest bok o długości \(4\). Przeciwprostokątna ma długość \(5\). W związku z tym:

$$sinβ=\frac{4}{5}$$ Teraz cosinus. Przyprostokątna przy kącie ma długość \(3\), przeciwprostokątna ma długość \(5\), zatem:

$$cosβ=\frac{3}{5}$$ I na koniec tangens, czyli stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(β\), która ma długość \(4\) oraz przyprostokątnej leżącej przy kącie, która ma długość \(3\). Zatem:

$$tgα=\frac{4}{3}$$

Przykład 3. Oblicz wartość \(cosα\).

Oblicz wartość \(cosα\). Tym razem musimy obliczyć wartość cosinusa i zgodnie z definicją wiemy, że interesuje nas przyprostokątna przy kącie \(α\) oraz przeciwprostokątna. Problemem w tym zadaniu jest fakt, że nie znamy długości przeciwprostokątnej. Bardzo często w różnych zadaniach będzie nam brakować jakiejś długości, ale z pomocą przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa. Warto pamiętać, że Twierdzenie Pitagorasa bardzo często będzie tworzyć zgraną parę z funkcjami trygonometrycznymi.

$$a^2+b^2=c^2 \\

5^2+12^2=c^2 \\

25+144=c^2 \\

c^2=169 \\

c=13 \quad\lor\quad c=-13$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(c=13\). Teraz możemy przejść do obliczenia wartości cosinusa. Przyprostokątna przy kącie \(α\) ma długość \(12\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(13\), zatem:

$$cosα=\frac{12}{13}$$

Wartości przyjmowane przez sinus, cosinus oraz tangens

Umiemy już rozwiązywać podstawowe zadania, ale jeszcze dwa słowa powiedzmy sobie o otrzymanych wynikach. Okazuje się, że funkcje sinus oraz cosinus przyjmują zawsze wartości z przedziału \(\langle-1;1\rangle\). Nie ma zatem takiej możliwości, by sinus wyszedł nam równy np. \(2\). To bardzo ważna uwaga, bo pozwala nam ona wyłapać ewentualne błędy podczas obliczeń. Gdyby się np. okazało, że wyszedłby nam ułamek większy od \(1\), to mielibyśmy jasny sygnał, nam że musimy coś w swoich obliczeniach poprawić. My na matematyce w szkole (zwłaszcza na poziomie podstawowym) posługujemy się głównie kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i tu też warto zapamiętać, że dla kątów ostrych sinus oraz cosinus przyjmują wartości z przedziału \((0;1)\). Ta wiedza przyda nam się zwłaszcza przy rozwiązywaniu nieco trudniejszych zadań, gdzie będziemy musieli odrzucać ujemne rozwiązania właśnie ze względu na tę regułę. Tangens może przyjmować bardzo różne wartości, zarówno mniejsze od \(-1\), jak i większe od \(1\), tak więc tutaj nie sprawdzimy już tak łatwo poprawności naszych obliczeń.

Powiedzmy jeszcze sobie co nam daje wiedza o tym, że \(sinα\) jest równy np. \(\frac{3}{5}\). Ta informacja może się nam przydać do niektórych wzorów np. na pole powierzchni, ale przede wszystkim z wartości takiego sinusa (czy też innej funkcji trygonometrycznej) możemy odczytać miarę naszego kąta \(α\). Miary kątów odczytujemy z tablic, a o tym jak to się robi przeczytasz tutaj:

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadania

Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy związki między długościami poszczególnych boków trójkąta oraz miarami jego kątów. Do podstawowych funckji trygonometrycznych należą sinus, cosinus, tangens i cotangens (inne funkcje to na przykład secans i cosecans).

Jeśli boki trójkąta prostokątnego oznaczymy literami , i , a jeden z jego kątów ostrych jako tak, jak pokazano na rysunku, to definicje funkcji będą następujące:

Nie należy się jednak zbytnio przyzwyczajać do tych oznaczeń, bowiem funkcje oznaczają związki między konkretnymi bokami i kątami, a użyte do ich oznaczenia litery pełnią funkcję jedynie pomocniczą – nie zawsze też – zwłaszcza w prostych obliczeniach – są używane, często do wzoru wstawia się bezpośrednio wartości liczbowe.

W konktekście funkcji trygonometrycznych warto jest znać pewne pojęcia, w tym przypadku – nazwy boków trójkąta prostokątnego. Bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, natomiast pozostałe dwa boki – przyprostokątnymi (leżą one przy kącie prostym).

Definicje funkcji:

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżacej naprzeciw tego kąta.

Znane są wartości funkcji trygonometrycznych określonego kąta.

Podstawowe wartości zaprezentowane są w tablicy trygonometrycznej funkcji.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych bywa pomocna przy rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadanie – przykład:

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość , a ramiona . Znaleźć wysokość tego trójkąta.

Ponieważ funkcje trygonometryczne tak, jak je powyżej zdefiniowaliśmy, odnoszą się tylko do trójkąta prostokątnego (choć można je zdefiniować również dla kątów dowolnej miary), a trójkąt w zadaniu jest równoramienny (zatem wysokość dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne), zastosujemy funkcje dla kąta zaznaczonego na rysunku.

Szukamy wysokości – a zatem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta – gdy dane mamy pozostałe boki.

Skorzystamy z funkcji cosinus, by znaleźć miarę kąta .

, zatem kąt wynosi . Wiedząc to, posłużymy się funkcją sinus (choć równie dobrze mógłby to być tangens lub cotangens). Otrzymujemy równość:

, a jednocześnie wiemy, że , zatem , więc .

Gdyby wykorzystać funkcję tangens, rozumowanie przebiegałoby następujące kroki:

, przy czym wiemy, że , stąd , a po przekształceniu otrzymujemy, że .

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadanie:

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość , a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę . Znaleźć długości pozostałych boków.

Odpowiedź:

, .

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Sprawdzona treść

Teksty dostarczyło Wydawnictwo GREG. © Copyright by Wydawnictwo GREG

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Trygonometria nie tylko na maturze

Trygonometria w życiu codziennym

Trygonometria to jeden z najważniejszych działów matematyki, któremu poświęca się bardzo dużo uwagi w czasie zajęć szkolnych. Na egzaminie maturalnym zadania dotyczące obliczania sinusów czy cosinusów pojawiają się niemal zawsze. Chociaż na pierwszy rzut oka wielu uczniom funkcje trygonometryczne mogą wydawać się abstrakcyjne, to w istocie są one powszechnie wykorzystywane w różnych dziedzinach życia, w niektórych przypadkach znacznie je ułatwiając. Jakie są zatem zastosowania trygonometrii na co dzień?

Czym zajmuje się trygonometria?

Funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym określają stosunki długości dwóch przyprostokątnych względem siebie albo jednej z nich wobec przeciwprostokątnej. Chcąc poznać praktyczne zastosowania trygonometrii, warto przede wszystkim zwrócić uwagę na wielkości, które pozwalają one obliczyć. Sposoby wykorzystania są różnorakie, a ich obserwacja pozwoli Ci łatwiej zrozumieć ten temat. Funkcje trygonometryczne przydają się na przykład podczas obliczania długości wyciągów narciarskich, podjazdów dla niepełnosprawnych albo kąta nachylenia drogi budowanej na zboczu.

Specjalistyczne zastosowania funkcji trygonometrycznych

Zastosowania trygonometrii mogą być rozmaite, ale przydaje się ona przede wszystkim w wyspecjalizowanych branżach, stanowiąc podstawę różnego rodzaju profesjonalnych badań. Jednym z nich jest na przykład niwelacja trygonometryczna – metoda pomiarowa wykorzystywana w geodezji do mierzenia różnicy wysokości między wybranymi punktami w terenie. Funkcje są też niezbędne podczas sporządzania precyzyjnych map w różnorodnej skali z zastosowaniem triangulacji; trygonometria stanowi również kluczowy element szeregów Fouriera, których używa się między innymi w trakcie kompresji danych w informatyce.

Trygonometria od podstaw – poznaj moje kursy

Zagadnienia z dziedziny trygonometrii stanowią nieodłączną część odpowiedniego przygotowania do matury podstawowej lub rozszerzonej, ale korzystanie z nich nie ogranicza się jedynie do rozwiązywania zadań teoretycznych. Funkcje te przydają się też w geodezji, informatyce, kartografii czy szeroko pojętym budownictwie i często są niezbędne do stworzenia rozwiązań, z którymi wielu z nas ma styczność na co dzień. Warto zatem zapoznać się z trygonometrią od podstaw, nie tylko przygotowując się do egzaminu maturalnego, ale również poznając zasady działania otaczającego świata. Dzięki moim kursom zrozumienie zagadnień trygonometrycznych stanie się zaś czystą przyjemnością. Jeśli chcesz poznać moje metody nauczania odwiedź mój kanał AjkaMAT na YouTube. Zapraszam…

Funkcje trygonometryczne – Wikipedia, wolna encyklopedia

Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych[1] lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego [ edytuj | edytuj kod ]

Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

sinus – oznaczany w Polsce jako sin {\displaystyle \sin } a {\displaystyle a} α {\displaystyle \alpha } c ; {\displaystyle c;} [2]

– oznaczany w Polsce jako cosinus (lub kosinus ) – oznaczany w Polsce jako cos {\displaystyle \cos } b {\displaystyle b} α {\displaystyle \alpha } c ; {\displaystyle c;} [2]

(lub ) – oznaczany w Polsce jako tangens – oznaczany w Polsce jako tg {\displaystyle \operatorname {tg} } a {\displaystyle a} α {\displaystyle \alpha } b {\displaystyle b} [2] ;

– oznaczany w Polsce jako ; cotangens ( kotangens ) ( 1 tg ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{\operatorname {tg} }})} ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } b {\displaystyle b} α {\displaystyle \alpha } a {\displaystyle a} [2] ;

( ) ; secans ( sekans ) ( 1 cos ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{\cos }})} sec {\displaystyle \sec } c {\displaystyle c} b {\displaystyle b} α ; {\displaystyle \alpha ;} odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną arccos {\displaystyle \arccos }

( ) odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną cosecans (kosekans) ( 1 sin ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{\sin }})} cosec {\displaystyle \operatorname {cosec} } c {\displaystyle c} a {\displaystyle a} α ; {\displaystyle \alpha ;} arcsin {\displaystyle \arcsin }

W innych krajach stosowane są inne nazwy funkcji trygonometrycznych.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki[3]:

a ⋅ {\displaystyle {\tfrac {a}{\cdot }}} b ⋅ {\displaystyle {\tfrac {b}{\cdot }}} c ⋅ {\displaystyle {\tfrac {c}{\cdot }}} ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {\cdot }{a}}} 1 {\displaystyle 1} ctg ⁡ α {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha } cosec ⁡ α {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha } ⋅ b {\displaystyle {\tfrac {\cdot }{b}}} tg ⁡ α {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha } 1 {\displaystyle 1} sec ⁡ α {\displaystyle \sec \alpha } ⋅ c {\displaystyle {\tfrac {\cdot }{c}}} sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha } 1 {\displaystyle 1}

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

sinus versus[4]:

versin ⁡ α = 1 − cos ⁡ α {\displaystyle \operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha }

haversin (ang. half of the versine)[5]:

haversin ⁡ α = 1 2 versin ⁡ α {\displaystyle \operatorname {haversin} \alpha ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {versin} \alpha }

cosinus versus[6]:

covers ⁡ α = 1 − sin ⁡ α {\displaystyle \operatorname {covers} \alpha =1-\sin \alpha }

exsec ⁡ α = sec ⁡ α − 1 {\displaystyle \operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1}

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi[8][9][10].

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego θ {\displaystyle \theta } wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków[11]:

sin ⁡ θ = | A C | {\displaystyle \sin \theta =|AC|} cos ⁡ θ = | O C | {\displaystyle \cos \theta =|OC|} tg ⁡ θ = | A E | {\displaystyle \operatorname {tg} \theta =|AE|} ctg ⁡ θ = | A F | {\displaystyle \operatorname {ctg} \theta =|AF|} sec ⁡ θ = | O E | {\displaystyle \sec \theta =|OE|} cosec ⁡ θ = | O F | {\displaystyle \operatorname {cosec} \theta =|OF|}

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku D A {\displaystyle DA} można przyjąć pole wycinka O B D A {\displaystyle OBDA} – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do O B D A {\displaystyle OBDA} [12].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

Sinus , czyli połowa długości cięciwy A B , {\displaystyle AB,} Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva , a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka [13] .

, czyli połowa długości cięciwy Aryabhaty w sanskrycie nazywany („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do , a następnie transliterowane do arabskiego (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili z (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że (جب) i (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). znaczy po łacinie właśnie . Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający , styczny , gdyż odcinek A E {\displaystyle AE} styczny do okręgu.

pochodzi od łacińskiego – , , gdyż odcinek styczny do okręgu. Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić , rozcinać , rozstrzygać i znaczy odcięcie . Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka O E , {\displaystyle OE,}

pochodzi z łacińskiego – , , i znaczy . Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego ∠ A O F . {\displaystyle \angle AOF.} koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje[14].

Definicja za pomocą szeregu Taylora [ edytuj | edytuj kod ]

Osobny artykuł: wzór Taylora.

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopniautworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne[15]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości[16][17][18]:

sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! , tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ = = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 , | x | < π 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5!}}-{\tfrac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}-{\tfrac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n}}{(2n)!}},\\\operatorname {tg} x&=x+{\tfrac {x^{3}}{3}}+{\tfrac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}} gdzie B n {\displaystyle B_{n}} to liczby Bernoulliego, ctg ⁡ x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π , sec ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n , | x | < π 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&={\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {x^{3}}{45}}-{\tfrac {2x^{5}}{945}}-\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi ,\\\sec x&=1+{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {5x^{4}}{24}}+{\tfrac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}} gdzie E n {\displaystyle E_{n}} to liczby Eulera, cosec ⁡ x = 1 x + x 6 + 7 x 3 360 + 31 x 5 15120 + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {x}{6}}+{\tfrac {7x^{3}}{360}}+{\tfrac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}} Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie. Definicja za pomocą równań funkcyjnych [ edytuj | edytuj kod ] Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych ( s , c ) {\displaystyle (s,c)} taka, że dla każdego x , y ∈ R : {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}} { s ( x ) 2 + c ( x ) 2 = 1 s ( x + y ) = s ( x ) c ( y ) + c ( x ) s ( y ) c ( x + y ) = c ( x ) c ( y ) − s ( x ) s ( y ) 0 < x c ( x ) < s ( x ) < x d l a 0 < x < 1 {\displaystyle {\begin{cases}s(x)^{2}+c(x)^{2}=1\\[2pt]s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\\[2pt]c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\\[2pt]0 1 + 3 2 π . {\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}

Funkcja Dirichleta [ edytuj | edytuj kod ]

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych[55]:

1 Q ( x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ⁡ ( m ! π x ) . {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x).}

Teoria liczb [ edytuj | edytuj kod ]

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład[56]:

∑ 1 ⩽ x < n , NWD ⁡ ( x , n ) = 1 cos ⁡ 2 π x n = μ ( n ) , {\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}1\leqslant x

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych

Do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o znanych długościach boków korzystamy z definicji podanych w poprzednim rozdziale.

Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \[\begin{split} c^2&=7^2+4^2\\[6pt] c^2&=49+16\\[6pt] c^2&=65\\[6pt] c&=\sqrt{65} \end{split}\] Zatem z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy: \[ \begin{split} &\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{65}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}\\[6pt] &\cos \alpha = \frac{7}{\sqrt{65}}=\frac{7\sqrt{65}}{65}\\[6pt] &\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{7} \end{split} \] Oblicz \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha \).

Pole trójkąta – trygonometria

Jednym z zastosowań funkcji trygonometrycznych jest ich wykorzystanie do obliczania pola trójkąta, gdy dana jest miara jednego z kątów oraz długości boków przy tym kącie.

Funkcją trygonometryczną, z której będziemy korzystać, jest funkcja sinus. Pole trójkąta wyraża się następującymi wzorami (oznaczenia jak na rysunku):

Innymi słowy zatem, pole trójkąta jest połową iloczynu długości dwóch boków tego trójkąta, oraz sinusa kąta pomiędzy tymi bokami.

Przykład:

W pewnym trójkącie wiadomoo, że jego dwa boki mają długość i , a kąt pomiędzy nimi wynosi . Znaleźć pole tego trójkąta?

Zadanie:

Jakie będzie pole trójkąta, jeśli i oraz są jak na rysunku?

Rozwiązanie:

Pole trójkąta wynosi .

funkcje trygonometryczne – Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można przedstawić jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (Rys 1).

sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);

cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);

tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;

cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\) przyległej do kąta \(\alpha\) i długości przyprostokątnej \(a\) leżącej naprzeciw tego kąta.

Należy pamiętać, że kąt ostry ma miarę większą od \(0^o\), lecz mniejszą od \(90^o\).

Zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego, a kątem ostrym \(\alpha \) są dane następującymi wzorami:

\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\):

\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\):

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\):

\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\).

Rys. 1 Trójkąt prostokątny

Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\(\alpha =\frac{l}{r}\)

gdzie

α – rozpatrywany kąt, l – długość łuku, r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).

Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów

radiany \(0\;\) \(\frac{\pi}{12}\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{5\pi}{12}\) \(\frac{\pi}{2}\) stopnie \(0^\circ\;\) \(15^\circ\;\) \(30^\circ\;\) \(45^\circ\;\) \(60^\circ\;\) \(75^\circ\;\) \(90^\circ\;\) \(\sin\;\) \(0\;\) \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) \( \tfrac{1}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) \(1\;\) \(\cos\;\) \(1\;\) \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) \( \tfrac{1}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) \(0\;\) \(\operatorname{tg}\;\) \(0\;\) \( 2-\sqrt{3} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) \(1\;\) \( \sqrt{3} \) \( 2+\sqrt{3} \) nieokreślony \(\operatorname{ctg}\;\) nieokreślony \( 2+\sqrt{3} \) \( \sqrt{3} \) \(1\;\) \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) \( 2-\sqrt{3} \) \(0\;\)

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny (nie tylko dla kątów ostrych) to tzw. tożsamości trygonometryczne. Często używane są:

jedynka trygonometryczna:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)

tangens i kotangens wyrażony za pomocą sinusa i cosinusa:

\(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha

eq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha

eq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{C}\)

sinus i cosinus sumy/różnicy kątów:

\(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\) \(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)

suma i różnica sinusów i cosinusów:

\(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \) \(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha – \beta } 2\) \(\cos \alpha – \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha – \beta } 2\)

sinus i cosinus podwojonego argumentu:

\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\) \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha – 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)

iloczyny sinusa i cosinusa

\(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha – \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\) \(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha – \beta) – \cos (\alpha + \beta)} 2\) \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha – \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)

wzory łączące funkcje trygonometryczne:

\(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} – \alpha \right)\) \(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} – \alpha \right)\) \(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} – \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\) \(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} – \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\) \(\begin{matrix} \sin^2 \alpha = & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \cos^2 \alpha = & 1-\sin^2 \alpha= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{tg}^2\ \alpha = & \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{ctg}^2\ \alpha = & \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)

Funkcje trygonometrycznych dla dowolnych kątów

W rozdziale tym wprowadziliśmy opis funkcji trygonometrycznych dla katów ostrych. Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta \(\alpha\) co przedstawione jest na Rys. 2.

Rys. 2 Funkcje trygonometryczne dla dowolnego kąta

Na tym rysunku (Rys. 2) wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a pierwsze ramię kąta – z dodatnią półosią \(OX\). Wtedy \(\cos \alpha\) oraz \(\sin \alpha\) to odpowiednio odcięta i rzędna punktu \(P\) przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem jednostkowym; \(\operatorname{tg} \alpha\) jest rzędną punktu \(Q\) przecięcia tego ramienia ze styczną pionową do okręgu wystawioną w punkcie \((1,0)\), a \(\operatorname{ctg}\alpha\) – odciętą punktu \(R\) przecięcia ramienia kąta ze styczną poziomą wystawioną w punkcie \((0,1)\). Kąt \(\alpha\) jest dowolny, przy czym np. przy wyznaczaniu wartości tangensa dla kąta \(\alpha\) w II. albo III. ćwiartce trzeba przedłużyć ramię kąta w dół albo w górę do przecięcia ze styczną (analogicznie postępuje się przy wyznaczaniu cotangensa dla kąta w III. albo IV. ćwiartce).

키워드에 대한 정보 funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

다음은 Bing에서 funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.

이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!

사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 Podstawy trygonometrii – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

• KhanAcademy po polsku
• Trygonometria
• Funkcje trygonometryczne
• Sinus
• Cosinus
• Tangens
• Right Triangle
• Trigonometric Functions
• Trójkąt prostokątny
• Trigonometry (Concepts/Theories)
• sinus cosinus
• sinus cosinus tangens cotangens

Podstawy #trygonometrii #- #funkcje #trygonometryczne #w #trójkącie #prostokątnym

---

YouTube에서 funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 주제의 다른 동영상 보기

주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 Podstawy trygonometrii – funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym | funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.

See also  재즈 피아노 학원 | 재즈피아노 즉흥 레슨 1개월만에 이렇게 바뀌었습니다. 답을 믿으세요